Деякі відомості про нейронні елементи

Деякі відомості про нейронні елементи

Теоретичні основи нейроматематики були закладені на початку 40-х років.У 1943 році У.Маккалох і його учень У.Пітс (U.MCCULOCH and W.PITTS) сформулювали основні положення теорії діяльності головного мозку. Вони одержали такі результати:
• розроблена модель нейрона як найпростішого процессорного елемента ,що обчислює перехідну функцію від скалярного добутку вектора вхідних сигналів і вектора вагових коефіцієнтів;
• запропонована конструкція мережі таких елементів для виконання логічних і арифметичних операцій;
• висловлена гіпотеза про те, що така мережа здатна навчатись, розпізнавати образи, узагальнювати одержану інформацію.
Не дивлячись на те, що за минулі роки нейроматематика пішла далеко вперед, твердження Маккалоха залишаються актуальними і зараз.При розмаїтті моделей нейронів, принцип їх дії залишається незмінним.
Біологічний нейрон - це нервова клітина разом з її відростами, структурна і функціональна одиниця нервової системи.
Складається із тіла (соми), що містить ядро, і відростків двох типів, що входять до нього - коротких деревовидних віток (дендритів) і одного довгого, що має вітки лише на кінці (аксома). З’єднання нейронів в нервові ланцюги відбувається за допомогою особливих контактів - синапсів. Функціонування нейронів здійснюється на основі нервових процесів, що в них розвиваються -синаптичних процесів і генерації нервових імпульсів. Властивості нейронів є предметом математичного моделювання і використовується при створенні логічнних пристроїв.
Нейронні мережі - це схеми з’єднань однорідних елементів -нейронів, а також їх математичні моделі. Схеми з’єднань нейронів дуже різноманітні, але всі вони являють собою багатошарові просторові структури. В однолінійних мережах кожний нейрон верхнього шару впливає на один нейрон шару, що лежить нижче. Прикладом такої мережі є рефлеторна дуга, що складається із послідовно включених трьох нейронів (чутливого, проміжкового і мононейрона ).
§2. Основні означення
Пороговий нейрон являє собою пристрій з кількома двійковими входами і одним двійковим виходом. Кожному двійковому входу ставиться у відповідність дійсне число, яке називається вагою. Сигнал на вході пристрою дорівнює константі 0 поки вагова сума вхідних сигналів не буде дорівнювати, або поки не стане більше дійсного числа, яке називається порогом, в цьому випадку вихідний сигнал стає рівним 1.
P Функція P називається активуючою функцією нейрона. Для математичного поргового елемента буде вірне слідуюче спів-відношення:
G=1 if (W1*X1+W2*X2+...+Wn*Xn) T;
(*)
G=1 if (W1*X1+W2*X2+...+Wn*Xn) Тут G - це двійковий сигнал на вході порогового елементу - пристрою з декількома двійковими входами і двійковим виходом.
Xi-це двійковий сигнал на і-вому вході пристрою,який дорівнює 1 або 0.
Wi - це вага і-вого входу, скінчене дійсне число. (i=1,...,n)
n - загальне число входів.
Т - поріг, скінчене дійсне число.
Вузли, поведінка яких з тим чи іншим степенем точності відповідає такій моделі, були знайдені в нервовій системі живих організмів. В останньому випадку нейрони мають в порівнянні із звичайними елементами ряд переваг, які зв’язані , насамперед із їх великими функціональними можливостями при таких самих затратах і розмірах.
§ 3. РЕАЛІЗАЦІЯ БУЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ НА ОДНОМУ НЕЙРОНІ
Розглянемо алфавіт значень змінних Z2={0,1}. Самі бульові змінні будемо позначати через x1,x2,...,xn.Розглянемо множину Z2N={(a1,a2,...,an)/ai Z2}.
Означення 1.
Довільне функціональне відображення f:Z2N Z2 називається
n-місною бульовою функцією.
Означення 2.
Якщо існує такий n+1-вимірний вектор (w0,w1,w2,...,wn), що P(w0+w1*x1+...+wn*xn) = f(x1,x2,...,xn), або, що еквівалентно, якщо існує гіперплощина, що відділяє вершини позначенні 1-ми від вершин що позначенні 0-ми n-вимірного одиничного куба, то f називається пороговим нейроном (пороговою функцією). P-предикат, який є звичайною функцією sign(x).
Означення 3.
Гіперплощина - це множина розв’язків одного лінійного рівняння із n невідомими.
Будь-який нейрон є многофункціональним елементом, тобто ми можемо перебудовувати його, керуючи вхід, так що нейрон буде реалізовувати іншу функцію, не змінюючи своєї фізичної структури.
Означення 4.
N-місним предикатом визначеним на множинах М1,М2,...,Мn називається довільне функціональне відображення множини М1*М2*...*Мn в множину {1,0}.
Означення 5.
Універсальний нейрон - це нейрон, на якому можна реалізувати довільну функцію.
Поняття універсального нейрону введено в (5).
§ 4. Нейрони в алфавіті 2={-1,1}.
До цього часу ми розглядали нейрон в алфавіті {0,1}. Нехай 2={1,-1} новий алфавіт.
n2 = { (b1,...,bn) ? bi? 2}
Перехід від алфавіту {0,1} до {1,-1} можна здійснити відображенням f : bi ? (-1)bi, тобто 0?1, 1?-1.
F: 2Z2.
Аналітично цей перехід: xi=1 - 2*yi (i=1,...,n); (1)
yi=(1-xi)/2. (1*)
Отже f=(1-F)/2.
Підставивши (1) і (1*) в (*) отримаємо:
w0+w1/2-w1*x1/2+...+wn/2-wn*xn/2>0, (1-F)/2=1.
w0+w1/2-w1*x1/2+...+wn/2-wn*xn/2<0, (1-F)/2=0. (2)
Для першого рядка (2) F= -1, для другого F=1.Тоді отримуємо
w0*2+w1-w1*x1+...+wn-wn*xn>0, F= -1.
w0*2+w1-w1*x1+...+wn-wn*xn<0, F= 1. (3)
Позначимо -2*w0-w1-...-wn=a0, w1=a1, ... , wn=an.
Тоді: a0+a1*x1+...+an*xn<0, F=-1;
a0+a1*x1+...+an*xn>0, F=1; (3*)
Так як у нас w0=-T, то a0=2*T-w1-...-wn.
Таким чином, всі вагові коефіцієнти залишилися без змін, а змінився тільки поріг, який називається модифікованим порогом.
Означення 6.
Комплексним нейроном (комплекснопороговою функцією), називається така бульова функція F(x1,x2,...,xn) для якої існують такі комплексні вагові коефіцієнти (a0,a1,...,an), що P(a0+a1*x1+...+an*xn)= =F(x1,x2,...,xn)
Теорема.
Будь-яка бульова функція реалізується універсальним нейроном над полем комплексних чисел С [5].
Поняття комплексного нейрона розширює інженерні можливості реалізації нейронів.

| Перша | Наступна сторiнка