ПОСЛІДОВНОСТІ

ПОСЛІДОВНОСТІ

Уявімо собі натуральний ряд чисел. Зіставимо з довільним числом n відповідно з деяким правилом аn. Упорядкований набір чисел а1, а2, ... аn називається числовою послідовністю. Задати числову послідовність означає задати закон, за яким кожному натуральному n ставиться у відповідність єдине цілком визначене число аn.
аn – єдиний член послідовності: 1, -1, 1, -1, ...., (-1)n.
а, а • q … a • q-1, an = a • q-1. a x d, … a + (n-1)d, an = a (n-1)d
an = 1 + 2n (1, 3, 5, 7).
Залежно від зростання n зазначені вище послідовності поводять себе по-різному (одні зростають, інші спадають, змінюють знаки) a + (n-1)d , при d<0. Послідовності, що мають певну властивість стійкості членів, яка виявляється в тому, що їх члени із зростанням стають дедалі ближчими до певного числа – збіжні, а число до якого наближаються її члени – границя відповідної послідовності.
Число А – називається одиницею числової послідовності, якщо для будь-якого Е>0,яким би малим воно не було, можна визначити такий номер N, що нерівність |A-an|N. Те, що означена границя числової послідовності має свою границю А записується:
Про послідовність, яка має границю будемо говорити, що вона збігається. Геометрична інтерпретація границі послідовності така, якщо , то який би відрізок [A-E, A+E] (Е окіл.) ми не взяли всі члени послідовності {an} починаючи з деякого номера N залежить Е. (N=NE). границею є О Е = 1/1000, N = 1000, що для всіх n>N маємо нерівність |0 – an| Якщо послідовність границі немає, то вона розбігається. 1, 2, 3, 4... n... Доведем, що послідовність натуральних чисел розбіжна.
Нехай послідовність {n} збіжна, тоді всі її члени починаючи з деякого номера (NE) попадуть в Еокіл . Але якщо Е < 1/2 , то Еокіл т.А буде меншим за одиницю, а в послідовності натуральних чисел відстань між двома сусідніми числами – 1. Отже, послідовність натуральних чисел розбіжна. Числова послідовність, що збігається до нуля є нескінченно малою послідовністю .
Числову послідовність називають нескінченно великою, якщо яким би не було число М, можна визначити такий номер N, що для всіх n>M виконується нерівність |an|>M.
Послідовність {an} обмежена, якщо існує число М, що для всіх n виконується нерівність |an| -Для того, що послідовність {an} збігалась до А необхідно і достатньо, щоб послідовність {?n= A - an} була нескінченно малою.
-Якщо {?n} і {?n} нескінченно малі, а {cn} обмежена, то {?n + ?n} та cn + ?n} нескінченно малі.
-Збіжна послідовність обмежена
-Якщо:
-Якщо
-Якщо
-Якщо
-Для того, щоб {?n},?n була нескінченно малою необхідно і достатньо, щоб була нескінченно великою.
-Якщо
-Якщо дано дві послідовності {an} і {bn}, які мають границі і для всіх n виконується нерівність аn < bn, то
-Нехай К належить Z, тоді при К>0 і при К<0.
-Якщо
-Нехай Рr(n) = ao • nr + a1 • nr-1 … ar, тоді
-Якщо ао і во не дорівнюють 0, то

| Перша | Наступна сторiнка